Упражнения с модулями

«Модули – это интересно и доступно»

Основная цель курса - создать необходимый запас знаний и способов их получения при решении различных видов уравнений и неравенств с модулями. Как можно полнее развить потенциальные творческие способности каждого ученика, не ограничивая заранее уровень сложности используемого задачного материала, сформировать у учащихся потребность в продолжении математического образования.

Данный курс для подготовки учащихся 9 классов вплотную примыкает к основному курсу алгебры, этот курс является развитием ранее приобретенных знаний, углубляет и расширяет курс математики основной школы. К сожалению, в основной школе, где задачи, содержащие абсолютную величину, рассматриваются лишь в дополнительных главах, трудно поддерживать интерес учащихся из-за ограниченности приобретенных знаний. Важные свойства и алгоритмы, необходимые для решения задач, отсутствуют. Такое положение создает определенные трудности для дальнейшего изучения математики и на  вступительных экзаменах  (подготовка  к ЕГЭ).

Решение задач с модулями является трудным  для большинства учащихся и вызывает у них страх, поэтому на каждом занятии  предлагается тот минимум, который достаточен для формирования основных представлений о модулях.

Любая тема может быть дополнена в различных учебных направлениях в старших классах профильной школы.

Учебный материал курса образует, своего рода, фундамент, опираясь на который можно в дальнейшем формировать систему знаний  учащихся, а  также их подготовку  к ЕГЭ.

Содержание программы.

1.     Решение уравнений, содержащих знак модуля.

На первом занятии учащимся сообщается цель и значение элективного курса. Учащиеся знакомятся с определением модуля, уравнением с модулем, им объясняется, что значит решить уравнение с модулем. Далее рассматриваются свойства модулей,  а также  различные методы решения уравнений с модулями. Применение полученных знаний  на практике решения задач полезно организовать в малых группах. Лучшему осмыслению учебного материала послужит составление справочной таблицы.

2.     Решение неравенств, содержащих знак модуля.

Программа (для общеобразовательных школ) не акцентирует внимание на вопросе решения неравенств с модулем, не нашел он достойного отражения и в материале действующих учебников. Содержание курса  призвано ликвидировать этот пробел.  Этот раздел содержит задачи, выходящие за рамки школьного курса. Здесь следует обратить внимание на решение неравенств с использованием числовой прямой; рассмотреть строгие и нестрогие неравенства;  рассмотреть графические  способы их решения. Занятия можно организовать в традиционной урочной форме. Последовательность заданий составлена так, что при определенной организации учебного процесса ученик может сам решить следует ли еще раз повторить изученное, или будет изучать новые способы решения задач. Поэтому полезно выделять время для индивидуальной работы учащихся.

Ожидаемый результат.

По окончании изучения данного курса ученик должен:

a)     знать определение модуля и его свойства;

b)    знать методы решения уравнений и неравенств, содержащих знак модуля;

c)     уметь применять методы при решении уравнений и неравенств.

На изучение двух блоков отводится 15 часов, из них 2 часа – на определение  успешности освоения материала. Итоговые работы можно организовать в виде контрольной работы (теста), в форме зачета. А также можно организовать игровой вариант.

Учебно - тематический план курса по выбору по математике «Модули – это доступно и интересно»; 9 класс.

№	Наименование разделов и тем.	Количество часов
I	Решение уравнений, содержащих знак модуля.	9
1	Определение и свойства модуля. Решение уравнений с использованием определений модуля	2
2	Уравнения вида ½f(x) ½=g(x) с использованием системы и совокупности. Решение уравнений методом интервалов.	3
3	Уравнения вида ½f(x) ½=½g(x)½.	2
4	Уравнения вида ½ax+b ½=cx+d.	1
5	Проверка усвоения знаний учащимися.	1
II	Решение неравенств, содержащих знак модуля.	6
1.	Решение неравенств вида ½f(x) ½<g(x)	2
2	Решение неравенств вида ½f(x) ½>g(x)	2
3	Решение неравенств вида½f(x)½<½g(x)½.	1
4	Проверка усвоения знаний учащимися.	1
III	Построение графиков функций, содержащих знак модуля	4

Контрольная работа

(выполнить задания, используя определение модуля)

№	I вариант	II вариант
1	Раскрыть модуль ½p-2½	Раскрыть модуль ½3-p½
	a)     p-2 b)     2-p	a)     3-p b)     p-3
2	½x-x+¼½	½x+2x+1½
	a)     –x+x-¼ b)     x-x+¼ c)      x-x+¼ d)     ¼-x-x	a)     x+2x+1 b)     –x-2x-1 c)      x-2x-1 d)     x-2x+1
3	Решить уравнение ½x-7½=-2	Решить уравнение ½2x-3½=1
	a) 7 c)      9 d)     нет решений e)      x – любое число	a)     2 b)     1 c)      1,2 d)     нет решений
4	½x-1,5½=3,5	½125x-1,4½=-2
	a)     2;5 b)     –5;-2 c)      –5;2 d)     2;-5	a)     8;2 b)     нет решений c)      2 d)     0;2
5	½x-x½=0	½x+x½=0
	a)     0;1 b)     -1;0 c)      x – любое число d)     1	a)     1;0 b)     нет решений c)      –1;0 d)     0

Зачетный урок по теме «Решение уравнений с модулями»

«Лестница трудностей»

Система заданий составляется на два варианта от легкого к сложному (сверху вниз). Каждый ученик, решив задание проверяет ответы у учителя, если ответ правильный, то ученик «движется по лестнице» дальше, а если ученик допустил ошибку, то учитель объясняет решение данного задания, а потом предлагает аналогичное. Если ученик добрался до конца лестницы, значит, тему он усвоил.

x-2½x½+1=0						x-4½x½+4=0
½-x+2½=2x+1							½4-x½+½x-2½=2
½ x +3½+½2x-1½=8								½x-3½+2½x+1½=4
½ x +5½=½10+x½									½2x+1½=x
½x-5½=3											½ x +5½=-3

Итоговое занятие по теме « Решение неравенств с модулями»

«Умники и умницы»

Три варианта выполнения работы: зеленая дорожка – более долгий путь достижения цели, включает 4 задания, но можно 2 раза попросить помощь учителя; желтая дорожка – «золотая середина», содержит 3 задания, можно 1 раз  попросить помощь учителя; красная дорожка - ученик решает без помощи учителя; этот путь содержит 2 задания. Для каждой дорожки можно составить несколько вариантов заданий.

	Зеленая дорожка	Желтая дорожка	Красная дорожка
1	½x½<3	½x-3½<2	½3+x½³x
2	½x+2½>-2	5x-7£½x+2½	½2x-1½+½x-3½£4
3	3x+½2-x½£5	½x-2½+½x+2½£4
4	½x-1½+½x+2½£3

Итоговое занятие по всему курсу можно провести в форме аукциона. Класс делится на команды. Каждое задание имеет определенное количество баллов. Команды знакомятся с заданиями и предлагают свои баллы, но не больше первоначальных ( как в настоящем аукционе), а меньше, если они уверены, что решат задание. Если команда решила задания правильно, то баллы складываются, если неправильно – баллы вычитаются. Победила та команда, которая набрала больше баллов.

1	½5-x½+½x-1½=10	3 балла
2	½x+2½=2/(3-x)	4 балла
3	½2x-9x+15½³2	5 баллов
4	½x-6½=½x-5x+9½	5 баллов
5	½x½+½x+3½<5	7 баллов

Уравнения с модулями.

Абсолютной величиной числа a (обозначается |а| ) называется расстояние ( в единичных отрезках) от начала координат до точки с координатой (а).

 

|а|=   а, если а≥0,                  (1)

  -а, если а<0.

Некоторые основные свойства модуля:

1.     |а| ≥ 0

2.     |а| = |-а|

3.     |а| ≥ а

4.     |ab| = |a|•|b|

5.     , b≠0

Полезны упражнения, при решении которых следует воспользоваться одним важным правилом, которое непосредственно следует из соотношения (1): чтобы раскрыть модуль, надо знать знак выражения, стоящего под знаком модуля.

Примеры.

Раскрыть модуль:

1)    | -3|. Решение: 3,14,   -3=3,14-3=0,14,  0,14>0; ( -3) >0, следовательно | -3|= -3. Ответ: -3.

2)    |1- |. Решение: 1- =1-3,14= - 2,14; -2,14 <0, т.е. (1- )<0, следовательно |1- | =     - (1- ) = -1. Ответ: -1.

3)    . Решение:

Определим знак выражения, стоящего под знаком модуля, для этого упростим его:

x² - x + = x² - 2• ,  ≥0 для любого x

. Ответ: x² - x + .

Дополнительные примеры.

Раскрыть модули:

·        |x²|

·        |x⁴ + 1|

·        |x² + 2x + 2|

Очень часто встречаются случаи, в которых нет необходимости раскрывать модуль. Достаточно лишь воспользоваться свойствами 1-3 и соотношением (1).

Решить уравнение:

1)    |x - 7| = - 2

Решение:

Левая часть: |x - 7| ≥ 0 по определению модуля.

Правая часть: – 2 < 0

Левая и правая части имеют разные знаки, следовательно, уравнение не имеет решений. Ответ: нет решений.

2)    |2x - 3| = 1

Решение:

По определению модуля имеем:

2x – 3=1,         2x – 3 = -1,

2x = 4,             2x = 2,

x = 2.               x = 1.

Ответ: 1; 2.

Дополнительные примеры.

Решите уравнение:

·        | 1001x + 14| = - 1                    Ответ: нет решений.

·        | 125x – 1,4| = - 2                      Ответ: нет решений.

·        | x + 1,5 | = 3,5                          Ответ: - 5; 2.

·        | x ² - x | = 0                               Ответ: 0; 1.

·        | x ² + x | = 0                              Ответ: - 1;0.

·        | | x – 1 | - 4 | = 3                        Ответ: -6; 0; 2; 8.

·        | | x + 3 | - 4 | = 1                        Ответ: -8; -6; 0; 2.

·        | | | x - 3 | - 3 | - 3 | = 0                Ответ: - 6;0; 6; 12.

·        | | | x - 3 | + 3 | - 3 | = 3               Ответ: 0; 6.

·        | 8 - | x + 2|| = 7                          Ответ: - 17; -3; -1; 13.

·        | 10 - | x - 1|| = 8                         Ответ: - 17; -1; 3; 14.

Уравнения с модулем решались способом перехода от исходного уравнения к исходной системе:

                                g(x) ≥0

f(x)=g(x)

                                    f(x)= - g(x)

Этот способ удобнее использовать, если выражение для функции g(x) не сложное ( для удобства изложения материала назовем этот способ первым).

Второй способ, стандартный, основан на раскрытии модуля, исходя из его определения, и заключается в переходе к совокупности двух систем:

| f(x) | = g(x)  

       С понятием совокупности можно познакомить учащихся при решении уравнения вида f₁(x) •f₂(x) = 0.

Решение данного уравнения сводится к задаче об отыскании значений “x”, удовлетворяющих хотя бы одному из уравнений вида f₁(x)=0 или f₂(x)=0.

Если поставлена такая задача, то говорят, что задана совокупность уравнений. Обозначается это так:

Второй способ рациональнее применять в случае сложного выражения для функции g(x) и не очень сложного для функции f(x).

Необходимо обратить внимание, что первый способ применим только для уравнений, содержащих один модуль.

Решите уравнение:

3)    |x-2| +| 2x-3|=5. Решение:

Рассмотрим четыре случая раскрытия модулей.

Первый случай: оба подмодульных выражения неотрицательны, тогда оба модуля раскрываются со знаком «+». Получим систему:

Решением системы является 3

Ответ: 3

Второй случай: первый модуль раскрывается со знаком “-“, т. к. подмодульное выражение отрицательно, а второй модуль – со знаком «+», т.к. подмодульное выражение неотрицательно. Имеем систему:

  Система не имеет решений.

Решение уравнения системы x=6 не удовлетворяет условиям раскрытия модулей.

Ответ 2: нет решений.

Третий случай (первый модуль раскрывается со знаком «+», а второй со знаком “-“) приводит к системе:

Первое и второе неравенства системы противоречивы, следовательно, система не имеет решений. Ответ 3: решений нет.

Четвертый случай приводит к системе:

 Следовательно, x=0. Ответ 4: 0.

Окончательный ответ исходного уравнения x=0 и x=3 . Ответ: 0; 3 .

Раскрывая последовательно все модули, входящие в рассмотренное уравнение, мы рассмотрели 4 случая, причем третий случай можно было бы опустить.

                                    

Решение линейных неравенств с модулями.

Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля, решают различными способами; рассмотрим достаточно простой пример:
№1.Решить неравенство:
>4.
Первый способ: Имеем: >4,
>4,
>2.
Геометрически выражение означает расстояние на координатной прямой между точками х и 2,5. Значит, нам нужно найти все такие точки х, которые удалены от точки 2,5 более чем на 2, - это точки из промежутков х<0,5 и х>4,5.
Второй способ: Поскольку обе части заданного неравенства неотрицательны, то возведем обе части этого неравенства в квадрат: ²>4² .
(2х–5)²>4²,
(2х–5)²–16>0,
(2х–5–4)(2х–5+4)>0,
2(х–4,5) 2(х–0,5)>0,
(х–4,5)(х–0,5)>0.
Применив метод интервалов, получим: х<0,5 и х>4,5.
Третий способ: Выражение 2х–5 может быть неотрицательным или отрицательным. Т.е. имеем совокупность двух систем:

Откуда: х<0,5 и х>4,5.
Рассмотрим еще несколько примеров.
Пример №2.Решить неравенство: <3.
Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:

Из первой системы получаем 2 х<5, из второй -1<х<2. Объединяя эти два решения, получаем: -1<х<5.
Пример №3. Решить неравенство: 3 х+3.
Данное неравенство равносильно двойному неравенству -х-3 3х–3 х+3 или системе
Имеем: 0 х 3.
Упражнения для самостоятельной работы:
Решить неравенства:
1. <3х+1,
2. + >2,
3. - > -2.

Решение квадратных неравенств с модулями.

Рассмотрим пример №1. Решите неравенство: +х–2<0.
Данное неравенство можно решить методом интервалов. Рассмотрим иное решение, основанное на следующем утверждении: при любом значении а неравенство равносильно системе неравенств: , а неравенство равносильно совокупности неравенств .
Поэтому наше неравенство равносильно системе неравенств: решая которые, получим:
Запишем ответ: (1- ;2- ).
Пример №2. Найти целые решения неравенства: 2х–х² . Задача сводится к решению совокупности двух систем неравенств:

Решим первую систему: из первого неравенства имеем: х 1; х 2.
из второго: 2х²–5х+2 0, или 0,5 х 2.
Отметив найденные решения первого и второго неравенств первой системы на координатной прямой, находим пересечение решений.
Т.о. 0,5 х 1 и х=2. Это решение первой системы.
Решим вторую систему: из первого неравенства имеем: 1<х<2, из второго: -(х² -3х+2) 2х–х², или – х²+3х–2–2х+ х² 0, или х 2.
Отметив найденные решения первого и второго неравенств второй системы на координатной прямой, получим: 1<х<2. Это решение второй системы.
Объединив найденные решения систем неравенств 0,5 x 1; х=2; 1<x<2, получаем: 0,5 x 2 и т.о. целыми решениями будут х=1 и х=2.
Упражнения для самостоятельной работы:
Решите неравенства:
1. <6,
2. <х,
3. <3х–3,
4. х²-3 +2>0,
5. х²-х<3 ,
6. х²-6х+7- <0,
7. 3 +х²–7>0,
8. > .
Метод интервалов решения уравнений и неравенств, содержащих модуль.
Рассмотрим метод интервалов на примере решения уравнения
- +3 -2 =х+2.
Чтобы решить данное неравенство, необходимо раскрыть модули. Для этого выделим интервалы, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, принимают только положительные или отрицательные значения. Отыскание таких интервалов основано на теореме: если на интервале (а; в) функция f непрерывна и не обращается в нуль, то она на этом интервале сохраняет постоянный знак.
Чтобы выделить интервалы знакопостоянства, найдем точки, в которых выражения, записанные под модулем, обращаются в нуль:
х+1=0, х=-1; х=0; х–1=0, х=1; х–2=0, х=2.
Полученные точки разобьют прямую на искомые интервалы. Определим знаки выражений
х+1, х, х–1, х–2 на этих интервалах:
Учитывая знаки, раскроем модули. В результате получим совокупность систем, равносильную данному уравнению:





Последняя совокупность приводится к виду:





Решение совокупности систем и данного уравнения: -2; х 2.
Использованный прием называется методом интервалов. Он применяется и при решении неравенств.
Решить неравенство: +х–2<0.
1) Найдем нули выражения: х²-3х.
х₁=0, х₂=3.
2) Разобьем координатную прямую на интервалы и установим знак выражения х²-3х на каждом интервале:
3) Раскроем модуль:
Решение первой системы: , решение второй . Решение данного неравенства: .
Упражнения для самостоятельной работы:
№1
№2
№3
Решение неравенств вида , посредством равносильных переходов.
Рассмотрим неравенства вида и . Примем без доказательства следующую теорему: при любом значении а неравенство равносильно системе неравенств а неравенство равносильно совокупности неравенств
Рассмотрим пример: решить неравенство: >х+2.
Пользуясь сформулированной теоремой, перейдем к совокупности неравенств:




Система и неравенство 0х>2 не имеют решений. Следовательно, решением совокупности (и данного неравенства) является х .
Упражнения для самостоятельной работы:
1. <6,
2. 1,
3. >х+3,
4. <х+3.
Применение свойств абсолютной величины при решении уравнений и неравенств.
При решении некоторых заданий находят применение свойства модуля. (При необходимости повторить их, см. занятие № 1).
Проиллюстрируем применение свойств модуля при решении следующих примеров.
Пример №1: решить уравнение: =1.
Заметим, что =1, значит, . Следовательно, по свойству 5: (х³-1)(2–х³) 0, решением которого является числовой отрезок

Пример №2. Решите систему уравнений:

Заметим, что Следовательно, по свойству 5 ху 0, т.е. х и у принимают значения одного знака. Тогда данная система равносильна совокупности систем:

или

Решением первой системы является любая пара неотрицательных чисел, сумма которых равна 1. Например, (0,5; 0,5), (1/6; 5/6).Решением второй системы является пара неположительных чисел, сумма которых равна – 1. Например, (0,8;-0,2).
Пример №3.Запишите при помощи знака модуля, что по крайней мере одно из чисел а, в, с, d отлично от нуля.
Ответ:
Пример №4. Дано: <1, <10, <10.
Докажите неравенство: <20.
Доказательство:
10=20.
Упражнения для самостоятельной работы:
1. Решите систему:
2. При каких значениях х справедливы равенства:
а) ,
б)
3. Найдите числа х и у такие, что =0;
4. Найдите наименьшее значение суммы:
а)
б)
5. Решите уравнение:
Решение уравнений и неравенств с модулями на координатной прямой.
При изучении расстояния между двумя точками А(х₁) и В(х₂) координатной прямой выводится формула, согласно которой АВ= . Используя эту формулу, можно решать уравнения и неравенства вида =в, , <в, , , а также уравнения и неравенства, к ним приводимые.

Рассмотрим примеры.

1. Решите уравнение: =1.

Переводя запись данного уравнения на “язык расстояний”, получим предложение “расстояние от точки с координатой х до точки с координатой 3 равно 1”. Следовательно, решение уравнения сводится к отысканию точек, удаленных от точки с координатой 3 на расстояние 1.
Корнями уравнения являются числа 2 и 4.

2. = 3.

Приводя данное уравнение к виду =1,5, используем формулу расстояния:
Ответ: - 2; 1.

3. .

Запишем данное уравнение в виде: . Исходя из геометрических представлений, нетрудно понять, что корнем последнего уравнения является координата точки, равноудаленной от точек с координатами 1 и – 2, т.е. число – 0,5.
Упражнения для самостоятельной работы:

Решите уравнения и неравенства:

1. =0,4;
2. =0,7;
3. <0,5;
4. <7;
5.
6.
7.
8.

Литература для учащихся:

2.     Н.Я. Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, В.И. Жохов. Математика: Учебник 6 класса средней школы., Москва, Просвещение. 1991г.

3.     Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, и др. Алгебра: Учебник 7 (8,9) классов средней школы. Под ред. С. А. Теляковского, Москва, просвещение, 1993г.

4.     Г. В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е. А. Бунимович, Л. В. Минаева. Алгебра: Учебник  7 (8,9) классов средней школы. Москва, Просвещение.

5.     А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир. Агебраический тренажер. Москва - Харьков: Импса, Гимназия, 1998г.

6.     В. Гольдич, С. Злотин. Три тысячи задач по алгебре 5-9 класс, С.П.: Мир и семья-95, 1998г.

7.     А. П. Ершова, В.В. Голобородько, А.С. Ершова. Математика: Самостоятельные и контрольные работы (разноуровневые дидактические материалы). Москва – Харьков: Импса, Гимназия, 1998г.

Литература для учителя:

1.     И. Ф. Шарыгин. Факультативный курс по математике:Решение задач: - М.:Просвещение, 1989г.

2.     И.М. Гельфонд. Функции и графики. Москва, Наука, 1968г.

3.     О. Ю. Черкасов, И. Г. Якушев. Математика для поступающих в вузы. Москва. Московский лицей, 1996г.

4.     И. С. Петраков. Математические кружки. – Москва. Просвещение. 1987г.

5.     Е. Л. Мельникова. Проблемный урок. – М., 2002г.

6.     Н.Я. Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, В.И. Жохов. Математика: Учебник 6 класса средней школы., Москва, Просвещение. 1991г.

7.     Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, и др. Алгебра: Учебник 7 (8,9) классов средней школы. Под ред. С. А. Теляковского, Москва, просвещение, 1993г.

8.     Г. В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е. А. Бунимович, Л. В. Минаева. Алгебра: Учебник  7 (8,9) классов средней школы. Москва, Просвещение.

9.     А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир. Агебраический тренажер. Москва - Харьков: Импса, Гимназия, 1998г.

10.                       В. Гольдич, С. Злотин. Три тысячи задач по алгебре 5-9 класс, С.П.: Мир и семья-95, 1998г.

11.                       А. П. Ершова, В.В. Голобородько, А.С. Ершова. Математика: Самостоятельные и контрольные работы (разноуровневые дидактические материалы). Москва – Харьков: Импса, Гимназия, 1998г.