Интегрированный урок

МБОУ «СОШ с УИОП № 61» города Кирова, учитель математики Кирпичева Г.Л., учитель физики Храмцова С.Н.

Интегрированный урок математики и физики в 11 классе на тему:

«Решение задач ЕГЭ по математике с физическим содержанием»

Цели:

Формирование умения строить математическую модель некоторой физической ситуации.

Расширение круга задач, решаемых с помощью алгебраических методов. Развитие познавательного интереса учащихся.

Задачи урока:

Образовательные: проверка умений учащихся оформлять и решать задачи с физическим содержанием, формирование умений устанавливать отношения между предметами, применение полученных знаний на практике.

Развивающие:

развитие логического мышления, умения делать выводы.

Воспитательные:

 стимулирование познавательной деятельности постановкой проблемных вопросов и заданий; воспитание умения работать в группе.

Планируемые результаты:

Знать: физические формулы, используемые при решении математических задач; способы решения неравенств  второй степени.

Уметь: применять эти формулы на практике; решать задачи физического содержания.

Тип урока: интегрированный урок решения задач с физическим содержанием для учащихся  11 класса

Комплексно-методическое обеспечение: проектор, компьютер.

 План проведения урока.

Вступительное слово учителя математики.

Устная работа

Решение задач

Подведение итогов урока.

Организация урока

Класс разбивается на 2 группы: физиков и математиков. Каждая группа получает задание - решить задачу: математики - по готовой формуле, а физики должны эту формулу вывести.

 Ход урока

1.Организационный момент.

Учителем сообщается тема урока, цель его проведения. Эпиграфом к сегодняшнему уроку послужат следующие слова: «Образование есть то, что остаётся у человека, когда остальное забывается». (Шри Ауробиндо).

 2. Систематизация знаний

Вступительное слово учителя математики

 Существует множество историй и шуток о различии математических и физических методов решения задач. Вот одна из них.

В гостинице поселились инженер, физик, и математик. У каждого в номере возникает пожар. 

Инженер выбегает в коридор, видит на стене пожарный шланг, хватает его, открывает воду, вбегает в номер и заливает очаг возгорания. 

Физик, быстро прикинув объем горючих веществ, температуру пламени, теплоемкость воды и пара, атмосферное давление и т.д., наливает в стакан из графина строго определенное количество воды и заливает огонь этой водой. 

Математик выскакивает в коридор, видит на стене огнетушитель, и, обрадовано воскликнув: “Решение существует!”, спокойно возвращается в номер.

Однако во все времена математика и физика стимулировали и обогащали развитие друг друга, решая одни и те же задачи. Такие задачи являются также точкой соприкосновения ЕГЭ по физике и математике.

Задания с прикладным содержанием, включённые в экзаменационные варианты ЕГЭ по математике под номером В12 представляют собой достаточно широкий круг: это и задачи с экономическим содержанием, и задачи о тепловом расширении тел, о сокращении длины быстро движущихся ракет, об определении глубин колодцев и об исследовании температуры звёзд, о проектировании подводных аппаратов, о скейтбордистах и даже о водолазных колоколах. Научиться решать задачи – одна из важнейших целей образования. Овладеть математическими знаниями, позволяющими описывать окружающий нас мир, научиться составлять, анализировать и интерпретировать соответствующие математические модели – наиважнейшая цель математического образования. Помочь, хотя бы немного в этом нелёгком труде и призван наш сегодняшний урок.

 Вступительное слово учителя физики: Задачи по математике с физическим содержанием представляют интерес и для учеников сдающих ЕГЭ по физике в этих задачах повторяют теоретический и практический материал, который необходим для решения задач уровня «А» и «В».

 3. Устная работа

1) Выразить t из формулы скорости

V=20-2,5t

Учитель физики: Какой вид движения описывает данная формула? Чему равно ускорение и начальная скорость?

2) Выразить V из формулы кинетической энергии

Учитель физики: Какие тела обладают кинетической энергией? От чего зависит кинетическая энергия?

3) Выразить t из формулы пути равноускоренного движения

 Учитель физики: Чему равна начальная скорость?

4) Выразить t из формулы

Учитель физики: Что обозначает величина «а». Дать физическую характеристику этой величине. Величина «а» является скалярной или векторной?  V

5) Выразить R₁  из формулы

6) Выразить скорость молекул V из формулы давления газа

Учитель физики: Отчего зависит давление газа?

7) Выразить высоту h из формулы скорости свободно падающего тела

V= 

Учитель физики: Отчего зависит ускорение свободного падения?

8) Выразить t₁из формулы

Q = cm(t₂-t₁)

9)  взять производную от q(t)

Учитель физики: Дать физическую характеристику величины Q.

Учитель математики: Урок построен на работе в группах.

Один ученик из группы физиков объясняет физический смысл задачи и выводит формулу, а другой из группы математиков строит математическую модель данной физической ситуации по готовой формуле и показывает решение задачи уже алгебраическим методом

1.V=20-2,5t	Выразить t из формулы
2.	Выразить V из формулы кинетической энергии
3.	Выразить R1  из формулы
4.	Выразить M из формулы
5. Q = cm(t2-t1)	Выразить t1 из формулы
6.	Найти производную от q(t)

Для физиков

1.	Какой вид движения описывает данная формула? Чему равно ускорение и начальная скорость?
2.	Какие тела обладают этой энергией? От чего она зависит энергия?
3.	Для какого вида соединения эта формула и что по ней подсчитывается?
4.	Какая величина определяется по формуле  и от чего она  зависит?
5.	Для какого теплового процесса используется эта формула?
6.	Что описывает эта формула и какие величины входят в нее?

4. Решение задач

Задача 1.

Для физиков.

Тело падает на землю с высоты 0,8 м с начальной  скоростью 3м/с. Найти время падения тела.

Для математиков.

Высота тела, падающего на землю,  меняется по закону h(t)=v₀t+gt²/2. Найти время падения тела c высоты 0,8 м, если скорость 3 м/с.

Решение: h(t)=v₀t+gt²/2

0,8=3t+10t²/2

5 t²+3t-0,8=0

Д=9+16=25=5²

t=0,2 или t=-0,8  Ответ: 0,2

Задача 2.

Для физиков.

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик определяет его, измеряя время падения t небольших камешков в колодец. До дождя время падения камешков составляло 0,8 с. На какую минимальную высоту должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось больше, чем на 0,2 с. Ответ выразить в м.

Для математиков.

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик определяет его, измеряя время падения t небольших камешков в колодец и рассчитывая по формуле

h=-5t², где t - в секундах, h - в метрах.

До дождя время падения камешков составляло 0,8 с. На какую минимальную высоту должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось больше, чем на 0,2 с. Ответ выразить в м.

Решение:h=-5t²

t₁=0,8с

t₂=0,8-0,2=0,6с

h₁= -5·0,8²=-3,2

h₂=-5·0,6²=-5·0,36=-1,8

Найдем разность h₂ - h₁=-1,8-(-3,2)=1,4

Ответ: 1,4

Задача 3.

Для физиков

Если быстро вращать ведро с водой на верёвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведра сила давления воды на дно не остаётся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней.

L – длина веревки (м). С какой минимальной скоростью надо вращать ведро, чтобы вода не выливалась, если длина веревки равна 0,784 м? Ответ выразите в м/с.

Для математиков.

Если быстро вращать ведро с водой на верёвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведра сила давления воды на дно не остаётся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила её давления на дно будет положительной во всех точках траектории, кроме верхней, где она может быть равной нулю. В

верхней точке сила давления, выраженная в Ньютонах, равна , где m – масса воды (кг), v – скорость движения ведра (м/с), g – ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/с²), L – длина веревки (м). С какой минимальной скоростью надо вращать ведро, чтобы вода не выливалась, если длина веревки равна 0,784 м? Ответ выразите в м/с. Р

ешение:

Задача сводится к решению неравенства P(v) ≥ 0.Подставим в формулу давления данные задачи: 

т

огда необходимо решить неравенство. Учитывая, что m > 0, получим: 

откуда . Учитывая, что v > 0, получим: v ≥ 2,8 м/с. Ответ: 2,8

Задача 4.

Для физиков.

В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет 80 Ом. Параллельно с ними к розетке  предполагается подключить электрообогреватель. Определить (в Омах) наименьшее возможное сопротивление этого обогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями R₁ и R₂, их общее сопротивление для нормального функционирования электросети должно быть не меньше 40 Ом.

 Для математиков.

В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет 80 Ом. Параллельно с ними к розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определить (в Омах) наименьшее возможное сопротивление этого обогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями R₁ и R₂, их общее сопротивление задается формулой R=R₁·R₂/(R₁+R₂), а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 40 Ом.

Решение:

R=R₁·R₂/(R₁+R₂)

R₁=80

R≥40

R₂-?

80·R₂/(80+R₂) ≥40

80R₂-3200-40R₂/(80+R₂) ≥0

Т.к. 80+R₂>0, то 40R₂≥3200

R₂≥80, значит наименьшее R₂=80 Ответ: 80

Задача 5

Для физиков.

Опорные башмаки шагающего экскаватора, имеющего массу  m=1260 тонн, представляют собой две пустотелые балки длиной  а=18 метров и шириной в метров каждая. Определите наименьшую возможную ширину опорных балок, если известно, что давление не должно превышать 140 кПа. Ответ выразите в метрах.

Для математиков.

Опорные башмаки шагающего экскаватора, имеющего массу  m=1260 тонн, представляют собой две пустотелые балки длиной  а=18 метров и шириной  в метров каждая. Давление экскаватора на почву, выражаемое в килопаскалях, определяется формулой , где m – масса в тоннах,  – длина балок в метрах, b – ширина балок в метрах, g – ускорение свободного падения (считайте g=10 ). Определите наименьшую возможную ширину опорных балок, если известно, что давление не должно превышать 140 кПа. Ответ выразите в метрах.

Решение:    b >0; b;  \bb

             

               Наименьшее b=2,5                  Ответ:2,5

5. Домашнее задание

1.Небольшой камень бросают под некоторым углом α к плоской горизонтальной поверхности земли. Найдите, при каком наименьшем значении угла (в градусах) камень пролетит через реку шириной 7,2 метра, если расстояние, которое он преодолевает, вычисляется по формуле  (м), где = 12- начальная скорость камня, а- ускорение свободного падения.

2.Тягач тащит платформу с деревьями с силой  F=70 кН, направленной под острым углом α к горизонту. Мощность ( в киловаттах) тягача при скорости  равна  α. Найдите, при каком максимальном угле α (в градусах), эта мощность будет не менее 175 кВт.

3.Расстояние от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте ⱨ над Землей, до наблюдаемой им линии горизонта, вычисляется по формуле  , где  км – радиус Земли. Найдите, с какой высоты линия горизонта видна на расстоянии 4 километров. Ответ выразите в метрах.

4.Вертикально вверх брошен мяч. Высота, на которой он может находиться, описывается по формуле , где - высота в метрах, - время в секундах, прошедшее с момента броска. Найдите, сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 4 метров.

Стихотворение "Нот учителя"

НОТ учителя

Вместо  скучного  доклада,  а  сказать  мне  много  надо

Тема  выступления  вот  «Труд  учителя  и  НОТ».

У  работников  иных  два  в  неделю  выходных,

А  у  нас  ни  одного,  НОТ  и  больше  ничего.

Ты  как  маленький  в  субботу  бодро  мчишься  на  работу,

В  воскресенье  ты – бездельник,  пишешь  план  на  понедельник.

Да,  глядишь,  тебе  опять сто  контрольных  проверять

А  по  карточкам  опрос  столько  времени  унёс.

В  них  вопросов  целый  ряд,  да  ответов  пятьдесят –

Это  в  карточке  одной,  а  их  сотня,  боже  мой.

Без  фанфар  и  без  оваций  проведёшь  сто  консультаций

И один  в  неделю  раз  подготовишь  классный  час.

А готовить  всю  неделю, где  взять  время,  в  самом  деле?

Тут  и  планы,  схемы,  сводки,  методички,  разработки,

Конференции,  отчет – это  всё  и  будет  НОТ.

Ну  а,  если  ты,  дружок,  да  ведешь  еще  кружок,

Да  прибавь  ещё  заботу  ты  о  лекторской  работе

Да  ещё  творишь  весь  день  стенгазету,  бюллетень.

Горе,  счастье  и  страданье – это  наше  расписанье.

Каждый  будет  очень  рад,  коль  уроки  в  нём  подряд.

Ну  а,  если  три  окна,  жизнь  прекрасна  и  полна,

День  летаем  взад,  вперёд,  это  тоже,  братцы,  НОТ.

А  открытые  уроки  все  выматывают  соки,

Проведёшь  такой  урок,  и  тебя  сшибает  с  ног.

Кончился  учебный  год,  жив  остался – снова  НОТ.

Радоваться  не  спеши,  все  отчёты  напиши,

А  отчётов – боже  мой,  не  поднять  одной  рукой.

А  характеристики – так,  для  беллетристики

Кто  читает  их?  Когда?  Да  никто  и  никогда

Но  их  требуют  и  вот,  это,  братцы,  тоже  НОТ.

Выйдешь  в  отпуск,  только  тут  вспомнишь,  как  тебя  зовут.

Ну  а  отпуск  промелькнёт, и  опять  начнётся НОТ.

Элективный курс по математике, 11 класс «Готовимся к ЕГЭ»

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

ЕГЭ по математике  в 11 классе – это два экзамена: выпускной школьный и вступительный в ВУЗы или средние специальные учебные заведения.

Во время  подготовки к ЕГЭ учащиеся знакомятся со структурой и содержанием контрольно- измерительных материалов (КИМ), материалами демоверсий. Учащимся 11 классов также необходимы учебно-методические пособия, позволяющие наиболее эффективно подготовиться к сдаче единого государственного экзамена.

При разработке данной программы учитывалось то, что элективный курс как компонент образования должен быть направлен на удовлетворение познавательных потребностей и интересов старшеклассников, на формирование у них новых видов познавательной и практической деятельности, которые не характерны для традиционных учебных курсов.

В основу элективного курса положен курс алгебры и математического анализа 10-11 классов.

Для курса характерна высокая практическая направленность. Его основное содержание составляют тестовые задания. Кроме того, рассматривается необходимый теоретический материал и типичные задания с подробным разбором их решений. Все темы курса изучаются на основе обучения методам и приемам решения математических задач, требующих применения высокой логической и операционной культуры, развивающих научно-теоретическое и алгоритмическое мышление учащихся. Особое внимание занимают задания, требующие применения учащимися знаний в незнакомых (нестандартных) ситуациях.

На занятиях элективного курса учатся работать с математическими тестами. Подробно рассматриваются возможные варианты быстрого решения тестовых заданий, особенно на «тонкие» места, не учитывая которые можно совершить ошибки. В результате задание не будет считаться верно решенным.

Многообразный дидактический материал дает возможность отбирать дополнительные задания для учащихся с разной степенью математической подготовки. В технологии проведения учебных занятий присутствует этап самопроверки, который предоставляет учащимся возможность самим проверить, как ими усвоен изучаемый материал. Учащиеся выполняют индивидуальные и групповые задания. Кроме того, на занятиях проводятся обучающие  самостоятельные работы, которыепозволяют оценить уровень подготовки по данной теме. Формой тематического контроля служит тест, состоящий из I и II частей. Третья часть контролируется за счет выполнения учащимися индивидуальных заданий.

Программа элективного курса составлена на основе курса «Система подготовки к ЕГЭ по математике», опубликованном в газете «Математика» (приложение к 1 сентября) №№ 17-24 за 2008год, разработанная ЮЕ Юрченко (Заместитель председателя предметной комиссии ЕГЭ по математике, заведующий лабораторией методики преподавания естественнонаучных предметов научно-методического центра Юго-Западного округа Москвы, доцент кафедры математики Московского института открытого образования. Заслуженный учитель РФ) и АВ Семеновым (Заместитель председателя предметной комиссии ЕГЭ по математике, доцент кафедры математики  Московского института открытого образования. Кандидат педагогических наук.)

Данный курс проводится в течение учебного года в объеме 68 часов, т.е. 2 часа в неделю.

Для учащихся, имеющих повышенный интерес к математике, в каникулы проводятся дополнительные курсы по темам  «Решаем текстовые задачи», «Решаем задачи по планиметрии», «Решаем задачи по стереометрии», и «Решаем задачи с параметрами».

Содержание элективного курса можно варьировать с учетом склонностей, интересов и уровня подготовленности учащихся.

Основной тип занятий – практикум. Для наиболее успешного усвоения материала планируются различные формы работы с учащимися: лекционно-семинарские занятия, групповые, индивидуальные формы работы.

Для текущего контроля на каждом занятии, учащимся рекомендуется серия заданий, часть которых выполняется в классе, а часть – дома самостоятельно. Изучение данного элективного курса заканчивается проведением итоговой работы в форме теста, составленного по структуре тестов ЕГЭ.

Цели курса:

-  подготовка учащихся к успешной сдаче ЕГЭ, продолжению образования в ВУЗе;

- обобщить и систематизировать знания учащихся по алгебре и началам анализа;

- сформировать умения решать математические задачи различной степени трудности.

      Задачи курса:

- расширить и углубить знания по математике;

- повысить математическую культуру учащихся;

- развить устойчивый интерес к математике;

- сформировать навыки и интерес к научной и исследовательской деятельности.

Учебный план

№ п/п	Наименование разделов	Всего часов
1	Введение.	1
2	Преобразование тригонометрических и рациональных  выражений.	2
3	Рациональные и тригонометрические уравнения и неравенства.	3
4	Функции: тригонометрические и степенные, их свойства и графики.	5
5	Преобразование иррациональных, показательных и логарифмических выражений.	6
6	Иррациональные, показательные и логарифмические уравнения и неравенства.	9
7	Функции: показательные и логарифмические, их свойства и графики.	8
	Итого:	34

Краткое содержание программы:

1.Введение.

Учащиеся знакомятся:

а) со структурой контрольно-измерительных материалов, которые используются в ЕГЭ по математике;       

б) дидактическими материалами, используемыми для подготовки к ЕГЭ;

в) с планом проведения элективного курса,

г) рекомендациями и советами при подготовке к ЕГЕ

2. Преобразование тригонометрических и рациональных  выражений.

Повторяется необходимый теоретический материал по теме «Преобразование рациональных и тригонометрических выражений», разбирается достаточное количество примеров (практически на каждый приём, когда-либо встречавшийся в заданиях ЕГЭ группах В и С). Формируются умения преобразовывать выражения при выполнении тренировочных упражнений. Выполняются тренировочные тесты. Повторение темы заканчивается выполнением тематического теста.

3.Рациональные и тригонометрические уравнения и неравенства.

Повторяется необходимый теоретический материал по теме «Рациональные и тригонометрические уравнения и неравенства », разбирается достаточное количество примеров. Формируются умения решать различные уравнения и неравенства при выполнении тренировочных упражнений. Выполняются тренировочные тесты. Повторение темы заканчивается выполнением тематического теста.

4. Функции: тригонометрические и степенные, их свойства и графики.

Повторяется необходимый теоретический материал по темам «Функция. Область определения и область значений. Свойства функции»,  « Производная. Исследование функции с помощью производной» разбирается достаточное количество примеров. Формируются умения при выполнении тренировочных упражнений:

а) вычислять производную,

б) с помощью производной находить промежутки монотонности и наибольшее и наименьшее значения функции, угловой коэффициент касательной;

в) исследовать функцию по её графику и графику производной.

 Выполняются тренировочные тесты. Повторение темы заканчивается выполнением тематического теста.

5. Преобразование иррациональных, показательных и логарифмических выражений.

Повторяется необходимый теоретический материал по теме «Преобразование иррациональных, показательных и логарифмических выражений», разбирается достаточное количество примеров (практически на каждый приём, когда-либо встречавшийся в заданиях ЕГЭ группах В и С). Формируются умения преобразовывать выражения при выполнении тренировочных упражнений. Выполняются тренировочные тесты. Повторение темы заканчивается выполнением тематического теста.

6. Иррациональные, показательные и логарифмические уравнения и неравенства.

Повторяется необходимый теоретический материал по теме «Иррациональные, показательные, логарифмические уравнения и неравенства », разбирается достаточное количество примеров. Формируются умения решать различные уравнения и неравенства при выполнении тренировочных упражнений. Выполняются тренировочные тесты. Повторение темы заканчивается выполнением тематического теста.

7. Функции: показательные и логарифмические, их свойства и графики.

Повторяется необходимый теоретический материал по темам «Функция. Область определения и область значений. Свойства функции»,  « Производная. Исследование функции с помощью производной» разбирается достаточное количество примеров. Формируются умения при выполнении тренировочных упражнений:

а) вычислять производную,

б) с помощью производной находить промежутки монотонности и наибольшее и наименьшее значения функции, угловой коэффициент касательной;

в) исследовать функцию по её графику и графику производной.

 Выполняются тренировочные тесты. Повторение темы заканчивается выполнением тематического теста

8.Итоговая работа в формате ЕГЭ.

Литература:

1.     Горнштейн П.И. Задачи с параметрами. - М.: Гимназия, 2002.

2.    Денищева Л.О., Карюхина Н.В., Михеева Т.Ф. Учимся решать уравнения и неравенства 10-11 класс. М.: «Интеллект-Центр», 2002год.

3.    Математика. Задачи М.И.Сканави. - Минск; В.М.Скакун,1998г.

4.    Математика. «Первое сентября».№ 4, 22, 23-2002 г; №12,38-2001 г № 17 – 24, 2008 г.

5.    Мордкович А.Г. Беседы с учителями математики. – М.: «Оникс 21 век», 2005год. Петров К. Квадратичная функция и ее применение. М.: Просвещение, 1995год.